Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58731 / 31377
↖ ↑ ↗
← N 67.990079°
W 18.690491°		 ← 114.44 m → N 67.990079°
W 18.687744°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
N 67.989050°
W 18.690491°		 ← 114.44 m →
13 102 m²		 N 67.989050°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448085784912109 y=0.239391326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448085784912109 × 217)
    floor (0.448085784912109 × 131072)
    floor (58731.5)     		tx = 58731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239391326904297 × 217)
    floor (0.239391326904297 × 131072)
    floor (31377.5)     		ty = 31377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58731 / 31377 ti = "17/58731/31377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58731/31377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58731 ÷ 217
    58731 ÷ 131072     		x = 0.448081970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31377 ÷ 217
    31377 ÷ 131072     		y = 0.239387512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448081970214844 × 2 - 1) × π
    -0.103836059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32621060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239387512207031 × 2 - 1) × π
    0.521224975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.6374765541215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32621060} λ = -0.32621060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6374765541215))-π/2
    2×atan(5.14217712066892)-π/2
    2×1.37872353235478-π/2
    2.75744706470956-1.57079632675     		φ = 1.18665074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32621060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.690491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18665074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.990079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58731 KachelY 31377 -0.32621060 1.18665074 -18.690491 67.990079
    Oben rechts KachelX + 1 58732 KachelY 31377 -0.32616267 1.18665074 -18.687744 67.990079
    Unten links KachelX 58731 KachelY + 1 31378 -0.32621060 1.18663277 -18.690491 67.989050
    Unten rechts KachelX + 1 58732 KachelY + 1 31378 -0.32616267 1.18663277 -18.687744 67.989050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18665074-1.18663277) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18665074-1.18663277) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32621060--0.32616267) × cos(1.18665074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374767130941309 × 6371000     		do = 114.439651881584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32621060--0.32616267) × cos(1.18663277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374783791208816 × 6371000     		du = 114.44473929469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18665074)-sin(1.18663277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374767130941309-0.374783791208816)×R²
    abs(-0.32616267--0.32621060)×1.66602675062411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66602675062411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66602675062411e-05×40589641000000     		ar = 13102.1287692848m²