Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58730 / 29355
↖ ↑ ↗
← N 69.980194°
W 18.693237°		 ← 104.56 m → N 69.980194°
W 18.690491°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.979254°
W 18.693237°		 ← 104.57 m →
10 932 m²		 N 69.979254°
W 18.690491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448078155517578 y=0.223964691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448078155517578 × 217)
    floor (0.448078155517578 × 131072)
    floor (58730.5)     		tx = 58730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223964691162109 × 217)
    floor (0.223964691162109 × 131072)
    floor (29355.5)     		ty = 29355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58730 / 29355 ti = "17/58730/29355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58730/29355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58730 ÷ 217
    58730 ÷ 131072     		x = 0.448074340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29355 ÷ 217
    29355 ÷ 131072     		y = 0.223960876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448074340820312 × 2 - 1) × π
    -0.103851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32625854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223960876464844 × 2 - 1) × π
    0.552078247070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.73440496515325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32625854} λ = -0.32625854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73440496515325))-π/2
    2×atan(5.66555559760761)-π/2
    2×1.39609056562789-π/2
    2.79218113125579-1.57079632675     		φ = 1.22138480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32625854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.693237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22138480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.980194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58730 KachelY 29355 -0.32625854 1.22138480 -18.693237 69.980194
    Oben rechts KachelX + 1 58731 KachelY 29355 -0.32621060 1.22138480 -18.690491 69.980194
    Unten links KachelX 58730 KachelY + 1 29356 -0.32625854 1.22136839 -18.693237 69.979254
    Unten rechts KachelX + 1 58731 KachelY + 1 29356 -0.32621060 1.22136839 -18.690491 69.979254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22138480-1.22136839) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22138480-1.22136839) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32625854--0.32621060) × cos(1.22138480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342344952443365 × 6371000     		do = 104.560960435211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32625854--0.32621060) × cos(1.22136839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		du = 104.5656696019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22138480)-sin(1.22136839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342344952443365-0.342360370812129)×R²
    abs(-0.32621060--0.32625854)×1.54183687641196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54183687641196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54183687641196e-05×40589641000000     		ar = 10931.8969608253m²