Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58729 / 86061
↖ ↑ ↗
← S 49.003646°
W 18.695984°		 ← 200.36 m → S 49.003646°
W 18.693237°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
S 49.005447°
W 18.695984°		 ← 200.36 m →
40 146 m²		 S 49.005447°
W 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448070526123047 y=0.656597137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448070526123047 × 217)
    floor (0.448070526123047 × 131072)
    floor (58729.5)     		tx = 58729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656597137451172 × 217)
    floor (0.656597137451172 × 131072)
    floor (86061.5)     		ty = 86061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58729 / 86061 ti = "17/58729/86061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58729/86061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58729 ÷ 217
    58729 ÷ 131072     		x = 0.448066711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86061 ÷ 217
    86061 ÷ 131072     		y = 0.656593322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448066711425781 × 2 - 1) × π
    -0.103866577148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32630648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656593322753906 × 2 - 1) × π
    -0.313186645507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.983904864701653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32630648} λ = -0.32630648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983904864701653))-π/2
    2×atan(0.37384841743445)-π/2
    2×0.357760681596829-π/2
    0.715521363193659-1.57079632675     		φ = -0.85527496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32630648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.695984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85527496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.003646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58729 KachelY 86061 -0.32630648 -0.85527496 -18.695984 -49.003646
    Oben rechts KachelX + 1 58730 KachelY 86061 -0.32625854 -0.85527496 -18.693237 -49.003646
    Unten links KachelX 58729 KachelY + 1 86062 -0.32630648 -0.85530641 -18.695984 -49.005447
    Unten rechts KachelX + 1 58730 KachelY + 1 86062 -0.32625854 -0.85530641 -18.693237 -49.005447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85527496--0.85530641) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dl = 200.367949999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85527496--0.85530641) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dr = 200.367949999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32630648--0.32625854) × cos(-0.85527496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656011008116269 × 6371000     		do = 200.362647602158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32630648--0.32625854) × cos(-0.85530641) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655987270862783 × 6371000     		du = 200.355397633946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85527496)-sin(-0.85530641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656011008116269-0.655987270862783)×R²
    abs(-0.32625854--0.32630648)×2.37372534866997e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37372534866997e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37372534866997e-05×40589641000000     		ar = 40145.5266292041m²