Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58728 / 45018
↖ ↑ ↗
← N 48.991032°
W 18.698730°		 ← 200.37 m → N 48.991032°
W 18.695984°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 48.989229°
W 18.698730°		 ← 200.38 m →
40 162 m²		 N 48.989229°
W 18.695984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448062896728516 y=0.343463897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448062896728516 × 217)
    floor (0.448062896728516 × 131072)
    floor (58728.5)     		tx = 58728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343463897705078 × 217)
    floor (0.343463897705078 × 131072)
    floor (45018.5)     		ty = 45018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58728 / 45018 ti = "17/58728/45018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58728/45018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58728 ÷ 217
    58728 ÷ 131072     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45018 ÷ 217
    45018 ÷ 131072     		y = 0.343460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343460083007812 × 2 - 1) × π
    0.313079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.983569306404312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983569306404312))-π/2
    2×atan(2.67398349538641)-π/2
    2×1.21292556629208-π/2
    2.42585113258416-1.57079632675     		φ = 0.85505481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85505481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.991032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58728 KachelY 45018 -0.32635441 0.85505481 -18.698730 48.991032
    Oben rechts KachelX + 1 58729 KachelY 45018 -0.32630648 0.85505481 -18.695984 48.991032
    Unten links KachelX 58728 KachelY + 1 45019 -0.32635441 0.85502335 -18.698730 48.989229
    Unten rechts KachelX + 1 58729 KachelY + 1 45019 -0.32630648 0.85502335 -18.695984 48.989229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85505481-0.85502335) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85505481-0.85502335) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32630648) × cos(0.85505481) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		do = 200.371586783739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32630648) × cos(0.85502335) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656200890329017 × 6371000     		du = 200.378835958567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85505481)-sin(0.85502335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656177150721222-0.656200890329017)×R²
    abs(-0.32630648--0.32635441)×2.37396077948926e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37396077948926e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37396077948926e-05×40589641000000     		ar = 40161.5362412128m²