Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58728 / 29354
↖ ↑ ↗
← N 69.981135°
W 18.698730°		 ← 104.53 m → N 69.981135°
W 18.695984°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
N 69.980194°
W 18.698730°		 ← 104.54 m →
10 936 m²		 N 69.980194°
W 18.695984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448062896728516 y=0.223957061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448062896728516 × 217)
    floor (0.448062896728516 × 131072)
    floor (58728.5)     		tx = 58728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223957061767578 × 217)
    floor (0.223957061767578 × 131072)
    floor (29354.5)     		ty = 29354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58728 / 29354 ti = "17/58728/29354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58728/29354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58728 ÷ 217
    58728 ÷ 131072     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29354 ÷ 217
    29354 ÷ 131072     		y = 0.223953247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223953247070312 × 2 - 1) × π
    0.552093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73445290205287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73445290205287))-π/2
    2×atan(5.66582719328726)-π/2
    2×1.39609877092082-π/2
    2.79219754184164-1.57079632675     		φ = 1.22140122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22140122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.981135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58728 KachelY 29354 -0.32635441 1.22140122 -18.698730 69.981135
    Oben rechts KachelX + 1 58729 KachelY 29354 -0.32630648 1.22140122 -18.695984 69.981135
    Unten links KachelX 58728 KachelY + 1 29355 -0.32635441 1.22138480 -18.698730 69.980194
    Unten rechts KachelX + 1 58729 KachelY + 1 29355 -0.32630648 1.22138480 -18.695984 69.980194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22140122-1.22138480) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22140122-1.22138480) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32630648) × cos(1.22140122) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.342329524586612 × 6371000     		do = 104.534438556646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32630648) × cos(1.22138480) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.342344952443365 × 6371000     		du = 104.539149638302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22140122)-sin(1.22138480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342329524586612-0.342344952443365)×R²
    abs(-0.32630648--0.32635441)×1.54278567530697e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54278567530697e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54278567530697e-05×40589641000000     		ar = 10935.7842876752m²