Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58727 / 86062
↖ ↑ ↗
← S 49.005447°
W 18.701477°		 ← 200.36 m → S 49.005447°
W 18.698730°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
S 49.007249°
W 18.701477°		 ← 200.35 m →
40 144 m²		 S 49.007249°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448055267333984 y=0.656604766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448055267333984 × 217)
    floor (0.448055267333984 × 131072)
    floor (58727.5)     		tx = 58727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656604766845703 × 217)
    floor (0.656604766845703 × 131072)
    floor (86062.5)     		ty = 86062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58727 / 86062 ti = "17/58727/86062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58727/86062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58727 ÷ 217
    58727 ÷ 131072     		x = 0.448051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86062 ÷ 217
    86062 ÷ 131072     		y = 0.656600952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448051452636719 × 2 - 1) × π
    -0.103897094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32640235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656600952148438 × 2 - 1) × π
    -0.313201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.983952801601273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32640235} λ = -0.32640235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983952801601273))-π/2
    2×atan(0.373830496729925)-π/2
    2×0.357744958314414-π/2
    0.715489916628827-1.57079632675     		φ = -0.85530641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32640235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.701477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85530641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.005447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58727 KachelY 86062 -0.32640235 -0.85530641 -18.701477 -49.005447
    Oben rechts KachelX + 1 58728 KachelY 86062 -0.32635441 -0.85530641 -18.698730 -49.005447
    Unten links KachelX 58727 KachelY + 1 86063 -0.32640235 -0.85533786 -18.701477 -49.007249
    Unten rechts KachelX + 1 58728 KachelY + 1 86063 -0.32635441 -0.85533786 -18.698730 -49.007249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85530641--0.85533786) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85530641--0.85533786) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(-0.85530641) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655987270862783 × 6371000     		do = 200.355397633946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(-0.85533786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655963532960457 × 6371000     		du = 200.348147467563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85530641)-sin(-0.85533786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655987270862783-0.655963532960457)×R²
    abs(-0.32635441--0.32640235)×2.37379023254602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37379023254602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37379023254602e-05×40589641000000     		ar = 40144.0739482998m²