Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58727 / 45017
↖ ↑ ↗
← N 48.992834°
W 18.701477°		 ← 200.41 m → N 48.992834°
W 18.698730°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 48.991032°
W 18.701477°		 ← 200.41 m →
40 156 m²		 N 48.991032°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448055267333984 y=0.343456268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448055267333984 × 217)
    floor (0.448055267333984 × 131072)
    floor (58727.5)     		tx = 58727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343456268310547 × 217)
    floor (0.343456268310547 × 131072)
    floor (45017.5)     		ty = 45017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58727 / 45017 ti = "17/58727/45017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58727/45017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58727 ÷ 217
    58727 ÷ 131072     		x = 0.448051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45017 ÷ 217
    45017 ÷ 131072     		y = 0.343452453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448051452636719 × 2 - 1) × π
    -0.103897094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32640235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343452453613281 × 2 - 1) × π
    0.313095092773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.983617243303932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32640235} λ = -0.32640235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983617243303932))-π/2
    2×atan(2.6741116809372)-π/2
    2×1.2129412935568-π/2
    2.4258825871136-1.57079632675     		φ = 0.85508626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32640235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.701477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85508626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.992834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58727 KachelY 45017 -0.32640235 0.85508626 -18.701477 48.992834
    Oben rechts KachelX + 1 58728 KachelY 45017 -0.32635441 0.85508626 -18.698730 48.992834
    Unten links KachelX 58727 KachelY + 1 45018 -0.32640235 0.85505481 -18.701477 48.991032
    Unten rechts KachelX + 1 58728 KachelY + 1 45018 -0.32635441 0.85505481 -18.698730 48.991032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85508626-0.85505481) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dl = 200.367949999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85508626-0.85505481) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dr = 200.367949999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(0.85508626) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656153418010263 × 6371000     		do = 200.406143249415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(0.85505481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		du = 200.413391830221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85508626)-sin(0.85505481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656153418010263-0.656177150721222)×R²
    abs(-0.32635441--0.32640235)×2.37327109587904e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37327109587904e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37327109587904e-05×40589641000000     		ar = 40155.6942853317m²