Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58727 / 29347
↖ ↑ ↗
← N 69.987715°
W 18.701477°		 ← 104.52 m → N 69.987715°
W 18.698730°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.986775°
W 18.701477°		 ← 104.53 m →
10 928 m²		 N 69.986775°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448055267333984 y=0.223903656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448055267333984 × 217)
    floor (0.448055267333984 × 131072)
    floor (58727.5)     		tx = 58727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223903656005859 × 217)
    floor (0.223903656005859 × 131072)
    floor (29347.5)     		ty = 29347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58727 / 29347 ti = "17/58727/29347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58727/29347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58727 ÷ 217
    58727 ÷ 131072     		x = 0.448051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29347 ÷ 217
    29347 ÷ 131072     		y = 0.223899841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448051452636719 × 2 - 1) × π
    -0.103897094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32640235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223899841308594 × 2 - 1) × π
    0.552200317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73478846035021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32640235} λ = -0.32640235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73478846035021))-π/2
    2×atan(5.66772872763324)-π/2
    2×1.39615619762434-π/2
    2.79231239524868-1.57079632675     		φ = 1.22151607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32640235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.701477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22151607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.987715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58727 KachelY 29347 -0.32640235 1.22151607 -18.701477 69.987715
    Oben rechts KachelX + 1 58728 KachelY 29347 -0.32635441 1.22151607 -18.698730 69.987715
    Unten links KachelX 58727 KachelY + 1 29348 -0.32640235 1.22149966 -18.701477 69.986775
    Unten rechts KachelX + 1 58728 KachelY + 1 29348 -0.32635441 1.22149966 -18.698730 69.986775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22151607-1.22149966) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22151607-1.22149966) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(1.22151607) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342221611570974 × 6371000     		do = 104.52328895811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32640235--0.32635441) × cos(1.22149966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		du = 104.527998350003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22151607)-sin(1.22149966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342221611570974-0.342237030677081)×R²
    abs(-0.32635441--0.32640235)×1.54191061070841e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54191061070841e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54191061070841e-05×40589641000000     		ar = 10927.958490739m²