Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58726 / 29341
↖ ↑ ↗
← N 69.993354°
W 18.704224°		 ← 104.50 m → N 69.993354°
W 18.701477°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.992414°
W 18.704224°		 ← 104.50 m →
10 925 m²		 N 69.992414°
W 18.701477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448047637939453 y=0.223857879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448047637939453 × 217)
    floor (0.448047637939453 × 131072)
    floor (58726.5)     		tx = 58726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223857879638672 × 217)
    floor (0.223857879638672 × 131072)
    floor (29341.5)     		ty = 29341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58726 / 29341 ti = "17/58726/29341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58726/29341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58726 ÷ 217
    58726 ÷ 131072     		x = 0.448043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29341 ÷ 217
    29341 ÷ 131072     		y = 0.223854064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448043823242188 × 2 - 1) × π
    -0.103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32645029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223854064941406 × 2 - 1) × π
    0.552291870117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73507608174793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32645029} λ = -0.32645029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73507608174793))-π/2
    2×atan(5.66935912214872)-π/2
    2×1.39620540610389-π/2
    2.79241081220777-1.57079632675     		φ = 1.22161449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32645029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.704224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22161449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.993354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58726 KachelY 29341 -0.32645029 1.22161449 -18.704224 69.993354
    Oben rechts KachelX + 1 58727 KachelY 29341 -0.32640235 1.22161449 -18.701477 69.993354
    Unten links KachelX 58726 KachelY + 1 29342 -0.32645029 1.22159808 -18.704224 69.992414
    Unten rechts KachelX + 1 58727 KachelY + 1 29342 -0.32640235 1.22159808 -18.701477 69.992414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22161449-1.22159808) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dl = 104.548110001203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22161449-1.22159808) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dr = 104.548110001203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32645029--0.32640235) × cos(1.22161449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342129132585314 × 6371000     		do = 104.495043495359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32645029--0.32640235) × cos(1.22159808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342144552244072 × 6371000     		du = 104.499753056046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22161449)-sin(1.22159808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342129132585314-0.342144552244072)×R²
    abs(-0.32640235--0.32645029)×1.54196587577315e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54196587577315e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54196587577315e-05×40589641000000     		ar = 10925.0054900308m²