Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58725 / 86459
↖ ↑ ↗
← S 49.715601°
W 18.706970°		 ← 197.44 m → S 49.715601°
W 18.704224°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
S 49.717376°
W 18.706970°		 ← 197.43 m →
38 982 m²		 S 49.717376°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448040008544922 y=0.659633636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448040008544922 × 217)
    floor (0.448040008544922 × 131072)
    floor (58725.5)     		tx = 58725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659633636474609 × 217)
    floor (0.659633636474609 × 131072)
    floor (86459.5)     		ty = 86459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58725 / 86459 ti = "17/58725/86459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58725/86459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58725 ÷ 217
    58725 ÷ 131072     		x = 0.448036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86459 ÷ 217
    86459 ÷ 131072     		y = 0.659629821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448036193847656 × 2 - 1) × π
    -0.103927612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32649822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659629821777344 × 2 - 1) × π
    -0.319259643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.00298375075043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32649822} λ = -0.32649822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00298375075043))-π/2
    2×atan(0.366783416558046)-π/2
    2×0.351547703834126-π/2
    0.703095407668252-1.57079632675     		φ = -0.86770092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32649822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.706970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86770092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.715601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58725 KachelY 86459 -0.32649822 -0.86770092 -18.706970 -49.715601
    Oben rechts KachelX + 1 58726 KachelY 86459 -0.32645029 -0.86770092 -18.704224 -49.715601
    Unten links KachelX 58725 KachelY + 1 86460 -0.32649822 -0.86773191 -18.706970 -49.717376
    Unten rechts KachelX + 1 58726 KachelY + 1 86460 -0.32645029 -0.86773191 -18.704224 -49.717376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86770092--0.86773191) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dl = 197.437290000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86770092--0.86773191) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dr = 197.437290000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(-0.86770092) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646582094863179 × 6371000     		do = 197.441621049194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(-0.86773191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		du = 197.434402028572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86770092)-sin(-0.86773191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646582094863179-0.64655845400442)×R²
    abs(-0.32645029--0.32649822)×2.36408587593884e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36408587593884e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36408587593884e-05×40589641000000     		ar = 38981.6259445495m²