Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58725 / 35621
↖ ↑ ↗
← N 63.187825°
W 18.706970°		 ← 137.74 m → N 63.187825°
W 18.704224°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 63.186585°
W 18.706970°		 ← 137.74 m →
18 981 m²		 N 63.186585°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448040008544922 y=0.271770477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448040008544922 × 217)
    floor (0.448040008544922 × 131072)
    floor (58725.5)     		tx = 58725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271770477294922 × 217)
    floor (0.271770477294922 × 131072)
    floor (35621.5)     		ty = 35621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58725 / 35621 ti = "17/58725/35621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58725/35621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58725 ÷ 217
    58725 ÷ 131072     		x = 0.448036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35621 ÷ 217
    35621 ÷ 131072     		y = 0.271766662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448036193847656 × 2 - 1) × π
    -0.103927612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32649822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271766662597656 × 2 - 1) × π
    0.456466674804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.43403235213398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32649822} λ = -0.32649822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43403235213398))-π/2
    2×atan(4.19558319677593)-π/2
    2×1.33681595691669-π/2
    2.67363191383338-1.57079632675     		φ = 1.10283559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32649822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.706970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10283559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.187825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58725 KachelY 35621 -0.32649822 1.10283559 -18.706970 63.187825
    Oben rechts KachelX + 1 58726 KachelY 35621 -0.32645029 1.10283559 -18.704224 63.187825
    Unten links KachelX 58725 KachelY + 1 35622 -0.32649822 1.10281396 -18.706970 63.186585
    Unten rechts KachelX + 1 58726 KachelY + 1 35622 -0.32645029 1.10281396 -18.704224 63.186585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10283559-1.10281396) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10283559-1.10281396) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(1.10283559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451067202549404 × 6371000     		do = 137.738796636991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(1.10281396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451086507002327 × 6371000     		du = 137.744691483924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10283559)-sin(1.10281396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451067202549404-0.451086507002327)×R²
    abs(-0.32645029--0.32649822)×1.93044529226971e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93044529226971e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93044529226971e-05×40589641000000     		ar = 18981.4638506423m²