Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58725 / 29990
↖ ↑ ↗
← N 69.374508°
W 18.706970°		 ← 107.57 m → N 69.374508°
W 18.704224°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.373541°
W 18.706970°		 ← 107.57 m →
11 575 m²		 N 69.373541°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448040008544922 y=0.228809356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448040008544922 × 217)
    floor (0.448040008544922 × 131072)
    floor (58725.5)     		tx = 58725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228809356689453 × 217)
    floor (0.228809356689453 × 131072)
    floor (29990.5)     		ty = 29990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58725 / 29990 ti = "17/58725/29990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58725/29990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58725 ÷ 217
    58725 ÷ 131072     		x = 0.448036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29990 ÷ 217
    29990 ÷ 131072     		y = 0.228805541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448036193847656 × 2 - 1) × π
    -0.103927612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32649822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228805541992188 × 2 - 1) × π
    0.542388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70396503389452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32649822} λ = -0.32649822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70396503389452))-π/2
    2×atan(5.49569486491446)-π/2
    2×1.39080495821685-π/2
    2.78160991643371-1.57079632675     		φ = 1.21081359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32649822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.706970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21081359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.374508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58725 KachelY 29990 -0.32649822 1.21081359 -18.706970 69.374508
    Oben rechts KachelX + 1 58726 KachelY 29990 -0.32645029 1.21081359 -18.704224 69.374508
    Unten links KachelX 58725 KachelY + 1 29991 -0.32649822 1.21079670 -18.706970 69.373541
    Unten rechts KachelX + 1 58726 KachelY + 1 29991 -0.32645029 1.21079670 -18.704224 69.373541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21081359-1.21079670) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21081359-1.21079670) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(1.21081359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352258076643776 × 6371000     		do = 107.566241367905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(1.21079670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352273883993595 × 6371000     		du = 107.571068332334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21081359)-sin(1.21079670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352258076643776-0.352273883993595)×R²
    abs(-0.32645029--0.32649822)×1.58073498188194e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58073498188194e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58073498188194e-05×40589641000000     		ar = 11575.0531121798m²