Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58724 / 29985
↖ ↑ ↗
← N 69.379345°
W 18.709717°		 ← 107.56 m → N 69.379345°
W 18.706970°		 →
↑
107.54 m
↓
↑
107.54 m
↓
N 69.378378°
W 18.709717°		 ← 107.57 m →
11 568 m²		 N 69.378378°
W 18.706970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448032379150391 y=0.228771209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448032379150391 × 217)
    floor (0.448032379150391 × 131072)
    floor (58724.5)     		tx = 58724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228771209716797 × 217)
    floor (0.228771209716797 × 131072)
    floor (29985.5)     		ty = 29985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58724 / 29985 ti = "17/58724/29985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58724/29985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58724 ÷ 217
    58724 ÷ 131072     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29985 ÷ 217
    29985 ÷ 131072     		y = 0.228767395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228767395019531 × 2 - 1) × π
    0.542465209960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.70420471839262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70420471839262))-π/2
    2×atan(5.49701225565263)-π/2
    2×1.39084716888244-π/2
    2.78169433776488-1.57079632675     		φ = 1.21089801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21089801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.379345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58724 KachelY 29985 -0.32654616 1.21089801 -18.709717 69.379345
    Oben rechts KachelX + 1 58725 KachelY 29985 -0.32649822 1.21089801 -18.706970 69.379345
    Unten links KachelX 58724 KachelY + 1 29986 -0.32654616 1.21088113 -18.709717 69.378378
    Unten rechts KachelX + 1 58725 KachelY + 1 29986 -0.32649822 1.21088113 -18.706970 69.378378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21089801-1.21088113) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dl = 107.54247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21089801-1.21088113) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dr = 107.54247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(1.21089801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352179066465411 × 6371000     		do = 107.564551987637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(1.21088113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352194864958186 × 6371000     		du = 107.569377253984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21089801)-sin(1.21088113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352179066465411-0.352194864958186)×R²
    abs(-0.32649822--0.32654616)×1.57984927751653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57984927751653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57984927751653e-05×40589641000000     		ar = 11568.0181417185m²