Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58724 / 29316
↖ ↑ ↗
← N 70.016833°
W 18.709717°		 ← 104.38 m → N 70.016833°
W 18.706970°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 70.015895°
W 18.709717°		 ← 104.38 m →
10 893 m²		 N 70.015895°
W 18.706970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448032379150391 y=0.223667144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448032379150391 × 217)
    floor (0.448032379150391 × 131072)
    floor (58724.5)     		tx = 58724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223667144775391 × 217)
    floor (0.223667144775391 × 131072)
    floor (29316.5)     		ty = 29316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58724 / 29316 ti = "17/58724/29316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58724/29316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58724 ÷ 217
    58724 ÷ 131072     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29316 ÷ 217
    29316 ÷ 131072     		y = 0.223663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223663330078125 × 2 - 1) × π
    0.55267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73627450423843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73627450423843))-π/2
    2×atan(5.67615748246772)-π/2
    2×1.39641029833795-π/2
    2.79282059667591-1.57079632675     		φ = 1.22202427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22202427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.016833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58724 KachelY 29316 -0.32654616 1.22202427 -18.709717 70.016833
    Oben rechts KachelX + 1 58725 KachelY 29316 -0.32649822 1.22202427 -18.706970 70.016833
    Unten links KachelX 58724 KachelY + 1 29317 -0.32654616 1.22200789 -18.709717 70.015895
    Unten rechts KachelX + 1 58725 KachelY + 1 29317 -0.32649822 1.22200789 -18.706970 70.015895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22202427-1.22200789) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22202427-1.22200789) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(1.22202427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341744052887277 × 6371000     		do = 104.377430243627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(1.22200789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341759446651811 × 6371000     		du = 104.382131895552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22202427)-sin(1.22200789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341744052887277-0.341759446651811)×R²
    abs(-0.32649822--0.32654616)×1.53937645346325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53937645346325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53937645346325e-05×40589641000000     		ar = 10892.7587255902m²