Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58720 / 86060
↖ ↑ ↗
← S 49.001844°
W 18.720703°		 ← 200.37 m → S 49.001844°
W 18.717956°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
S 49.003646°
W 18.720703°		 ← 200.36 m →
40 134 m²		 S 49.003646°
W 18.717956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448001861572266 y=0.656589508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448001861572266 × 217)
    floor (0.448001861572266 × 131072)
    floor (58720.5)     		tx = 58720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656589508056641 × 217)
    floor (0.656589508056641 × 131072)
    floor (86060.5)     		ty = 86060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58720 / 86060 ti = "17/58720/86060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58720/86060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58720 ÷ 217
    58720 ÷ 131072     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86060 ÷ 217
    86060 ÷ 131072     		y = 0.656585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.983856927802032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983856927802032))-π/2
    2×atan(0.373866338998058)-π/2
    2×0.357776405448131-π/2
    0.715552810896261-1.57079632675     		φ = -0.85524352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85524352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.001844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58720 KachelY 86060 -0.32673791 -0.85524352 -18.720703 -49.001844
    Oben rechts KachelX + 1 58721 KachelY 86060 -0.32668997 -0.85524352 -18.717956 -49.001844
    Unten links KachelX 58720 KachelY + 1 86061 -0.32673791 -0.85527496 -18.720703 -49.003646
    Unten rechts KachelX + 1 58721 KachelY + 1 86061 -0.32668997 -0.85527496 -18.717956 -49.003646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85524352--0.85527496) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dl = 200.30423999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85524352--0.85527496) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dr = 200.30423999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32668997) × cos(-0.85524352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656034737173587 × 6371000     		do = 200.369895067049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32668997) × cos(-0.85527496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656011008116269 × 6371000     		du = 200.362647602158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85524352)-sin(-0.85527496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656034737173587-0.656011008116269)×R²
    abs(-0.32668997--0.32673791)×2.3729057317623e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3729057317623e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3729057317623e-05×40589641000000     		ar = 40134.2137045501m²