Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58720 / 29984
↖ ↑ ↗
← N 69.380313°
W 18.720703°		 ← 107.56 m → N 69.380313°
W 18.717956°		 →
↑
107.54 m
↓
↑
107.54 m
↓
N 69.379345°
W 18.720703°		 ← 107.56 m →
11 567 m²		 N 69.379345°
W 18.717956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448001861572266 y=0.228763580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448001861572266 × 217)
    floor (0.448001861572266 × 131072)
    floor (58720.5)     		tx = 58720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228763580322266 × 217)
    floor (0.228763580322266 × 131072)
    floor (29984.5)     		ty = 29984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58720 / 29984 ti = "17/58720/29984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58720/29984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58720 ÷ 217
    58720 ÷ 131072     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29984 ÷ 217
    29984 ÷ 131072     		y = 0.228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228759765625 × 2 - 1) × π
    0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70425265529224))-π/2
    2×atan(5.49727577169336)-π/2
    2×1.39085560987934-π/2
    2.78171121975868-1.57079632675     		φ = 1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58720 KachelY 29984 -0.32673791 1.21091489 -18.720703 69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 58721 KachelY 29984 -0.32668997 1.21091489 -18.717956 69.380313
    Unten links KachelX 58720 KachelY + 1 29985 -0.32673791 1.21089801 -18.720703 69.379345
    Unten rechts KachelX + 1 58721 KachelY + 1 29985 -0.32668997 1.21089801 -18.717956 69.379345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21091489-1.21089801) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dl = 107.54247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21091489-1.21089801) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dr = 107.54247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32668997) × cos(1.21091489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 107.559726690766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32668997) × cos(1.21089801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352179066465411 × 6371000     		du = 107.564551987761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21091489)-sin(1.21089801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.352179066465411)×R²
    abs(-0.32668997--0.32673791)×1.57985931231175e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57985931231175e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57985931231175e-05×40589641000000     		ar = 11567.4992188744m²