Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58718 / 37727
↖ ↑ ↗
← N 60.458572°
W 18.726196°		 ← 150.59 m → N 60.458572°
W 18.723449°		 →
↑
150.55 m
↓
↑
150.55 m
↓
N 60.457218°
W 18.726196°		 ← 150.60 m →
22 671 m²		 N 60.457218°
W 18.723449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447986602783203 y=0.287837982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447986602783203 × 217)
    floor (0.447986602783203 × 131072)
    floor (58718.5)     		tx = 58718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287837982177734 × 217)
    floor (0.287837982177734 × 131072)
    floor (37727.5)     		ty = 37727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58718 / 37727 ti = "17/58718/37727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58718/37727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58718 ÷ 217
    58718 ÷ 131072     		x = 0.447982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37727 ÷ 217
    37727 ÷ 131072     		y = 0.287834167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447982788085938 × 2 - 1) × π
    -0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287834167480469 × 2 - 1) × π
    0.424331665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.33307724153414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32683378} λ = -0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33307724153414))-π/2
    2×atan(3.79269649183595)-π/2
    2×1.31299873492745-π/2
    2.62599746985491-1.57079632675     		φ = 1.05520114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05520114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.458572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58718 KachelY 37727 -0.32683378 1.05520114 -18.726196 60.458572
    Oben rechts KachelX + 1 58719 KachelY 37727 -0.32678584 1.05520114 -18.723449 60.458572
    Unten links KachelX 58718 KachelY + 1 37728 -0.32683378 1.05517751 -18.726196 60.457218
    Unten rechts KachelX + 1 58719 KachelY + 1 37728 -0.32678584 1.05517751 -18.723449 60.457218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05520114-1.05517751) × R
    2.36300000000522e-05 × 6371000     		dl = 150.546730000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05520114-1.05517751) × R
    2.36300000000522e-05 × 6371000     		dr = 150.546730000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32683378--0.32678584) × cos(1.05520114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.49305274850196 × 6371000     		do = 150.591000570321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32683378--0.32678584) × cos(1.05517751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493073306450549 × 6371000     		du = 150.597279496981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05520114)-sin(1.05517751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49305274850196-0.493073306450549)×R²
    abs(-0.32678584--0.32683378)×2.05579485891283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05579485891283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05579485891283e-05×40589641000000     		ar = 22671.4553404065m²