Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58717 / 45473
↖ ↑ ↗
← N 48.164254°
W 18.728943°		 ← 203.72 m → N 48.164254°
W 18.726196°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
N 48.162421°
W 18.728943°		 ← 203.73 m →
41 507 m²		 N 48.162421°
W 18.726196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447978973388672 y=0.346935272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447978973388672 × 217)
    floor (0.447978973388672 × 131072)
    floor (58717.5)     		tx = 58717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346935272216797 × 217)
    floor (0.346935272216797 × 131072)
    floor (45473.5)     		ty = 45473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58717 / 45473 ti = "17/58717/45473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58717/45473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58717 ÷ 217
    58717 ÷ 131072     		x = 0.447975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45473 ÷ 217
    45473 ÷ 131072     		y = 0.346931457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447975158691406 × 2 - 1) × π
    -0.104049682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32688172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346931457519531 × 2 - 1) × π
    0.306137084960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.961758017077187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32688172} λ = -0.32688172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961758017077187))-π/2
    2×atan(2.61629191867587)-π/2
    2×1.20571056595844-π/2
    2.41142113191688-1.57079632675     		φ = 0.84062481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32688172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.728943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84062481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.164254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58717 KachelY 45473 -0.32688172 0.84062481 -18.728943 48.164254
    Oben rechts KachelX + 1 58718 KachelY 45473 -0.32683378 0.84062481 -18.726196 48.164254
    Unten links KachelX 58717 KachelY + 1 45474 -0.32688172 0.84059283 -18.728943 48.162421
    Unten rechts KachelX + 1 58718 KachelY + 1 45474 -0.32683378 0.84059283 -18.726196 48.162421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84062481-0.84059283) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84062481-0.84059283) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(0.84062481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666997435119211 × 6371000     		do = 203.718185199254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(0.84059283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667021261797316 × 6371000     		du = 203.725462480046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84062481)-sin(0.84059283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666997435119211-0.667021261797316)×R²
    abs(-0.32683378--0.32688172)×2.38266781050767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38266781050767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38266781050767e-05×40589641000000     		ar = 41507.2174385633m²