Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58717 / 37750
↖ ↑ ↗
← N 60.427410°
W 18.728943°		 ← 150.74 m → N 60.427410°
W 18.726196°		 →
↑
150.74 m
↓
↑
150.74 m
↓
N 60.426055°
W 18.728943°		 ← 150.74 m →
22 722 m²		 N 60.426055°
W 18.726196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447978973388672 y=0.288013458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447978973388672 × 217)
    floor (0.447978973388672 × 131072)
    floor (58717.5)     		tx = 58717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288013458251953 × 217)
    floor (0.288013458251953 × 131072)
    floor (37750.5)     		ty = 37750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58717 / 37750 ti = "17/58717/37750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58717/37750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58717 ÷ 217
    58717 ÷ 131072     		x = 0.447975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37750 ÷ 217
    37750 ÷ 131072     		y = 0.288009643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447975158691406 × 2 - 1) × π
    -0.104049682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32688172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288009643554688 × 2 - 1) × π
    0.423980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33197469284288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32688172} λ = -0.32688172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33197469284288))-π/2
    2×atan(3.7885171636623)-π/2
    2×1.31272679720827-π/2
    2.62545359441654-1.57079632675     		φ = 1.05465727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32688172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.728943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05465727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.427410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58717 KachelY 37750 -0.32688172 1.05465727 -18.728943 60.427410
    Oben rechts KachelX + 1 58718 KachelY 37750 -0.32683378 1.05465727 -18.726196 60.427410
    Unten links KachelX 58717 KachelY + 1 37751 -0.32688172 1.05463361 -18.728943 60.426055
    Unten rechts KachelX + 1 58718 KachelY + 1 37751 -0.32683378 1.05463361 -18.726196 60.426055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05465727-1.05463361) × R
    2.36600000000919e-05 × 6371000     		dl = 150.737860000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05465727-1.05463361) × R
    2.36600000000919e-05 × 6371000     		dr = 150.737860000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(1.05465727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493525842140899 × 6371000     		do = 150.735495544908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(1.05463361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493546419841359 × 6371000     		du = 150.741780504299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05465727)-sin(1.05463361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493525842140899-0.493546419841359)×R²
    abs(-0.32683378--0.32688172)×2.05777004604335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05777004604335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05777004604335e-05×40589641000000     		ar = 22722.0197162668m²