Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58717 / 29988
↖ ↑ ↗
← N 69.376443°
W 18.728943°		 ← 107.58 m → N 69.376443°
W 18.726196°		 →
↑
107.54 m
↓
↑
107.54 m
↓
N 69.375476°
W 18.728943°		 ← 107.58 m →
11 570 m²		 N 69.375476°
W 18.726196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447978973388672 y=0.228794097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447978973388672 × 217)
    floor (0.447978973388672 × 131072)
    floor (58717.5)     		tx = 58717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228794097900391 × 217)
    floor (0.228794097900391 × 131072)
    floor (29988.5)     		ty = 29988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58717 / 29988 ti = "17/58717/29988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58717/29988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58717 ÷ 217
    58717 ÷ 131072     		x = 0.447975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29988 ÷ 217
    29988 ÷ 131072     		y = 0.228790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447975158691406 × 2 - 1) × π
    -0.104049682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32688172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228790283203125 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70406090769376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32688172} λ = -0.32688172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70406090769376))-π/2
    2×atan(5.49622178331905)-π/2
    2×1.39082184361937-π/2
    2.78164368723873-1.57079632675     		φ = 1.21084736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32688172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.728943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21084736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.376443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58717 KachelY 29988 -0.32688172 1.21084736 -18.728943 69.376443
    Oben rechts KachelX + 1 58718 KachelY 29988 -0.32683378 1.21084736 -18.726196 69.376443
    Unten links KachelX 58717 KachelY + 1 29989 -0.32688172 1.21083048 -18.728943 69.375476
    Unten rechts KachelX + 1 58718 KachelY + 1 29989 -0.32683378 1.21083048 -18.726196 69.375476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21084736-1.21083048) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dl = 107.54247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21084736-1.21083048) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dr = 107.54247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(1.21084736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352226471001823 × 6371000     		do = 107.57903055325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32688172--0.32683378) × cos(1.21083048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352242269193468 × 6371000     		du = 107.583855727624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21084736)-sin(1.21083048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352226471001823-0.352242269193468)×R²
    abs(-0.32683378--0.32688172)×1.57981916449335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57981916449335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57981916449335e-05×40589641000000     		ar = 11569.575197617m²