Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58716 / 39795
↖ ↑ ↗
← N 57.534994°
W 18.731690°		 ← 163.95 m → N 57.534994°
W 18.728943°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.533520°
W 18.731690°		 ← 163.95 m →
26 876 m²		 N 57.533520°
W 18.728943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447971343994141 y=0.303615570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447971343994141 × 217)
    floor (0.447971343994141 × 131072)
    floor (58716.5)     		tx = 58716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303615570068359 × 217)
    floor (0.303615570068359 × 131072)
    floor (39795.5)     		ty = 39795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58716 / 39795 ti = "17/58716/39795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58716/39795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58716 ÷ 217
    58716 ÷ 131072     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39795 ÷ 217
    39795 ÷ 131072     		y = 0.303611755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303611755371094 × 2 - 1) × π
    0.392776489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.23394373311987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23394373311987))-π/2
    2×atan(3.43474859277615)-π/2
    2×1.28748570443042-π/2
    2.57497140886084-1.57079632675     		φ = 1.00417508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00417508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.534994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58716 KachelY 39795 -0.32692966 1.00417508 -18.731690 57.534994
    Oben rechts KachelX + 1 58717 KachelY 39795 -0.32688172 1.00417508 -18.728943 57.534994
    Unten links KachelX 58716 KachelY + 1 39796 -0.32692966 1.00414935 -18.731690 57.533520
    Unten rechts KachelX + 1 58717 KachelY + 1 39796 -0.32688172 1.00414935 -18.728943 57.533520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00417508-1.00414935) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dl = 163.925829999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00417508-1.00414935) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dr = 163.925829999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32688172) × cos(1.00417508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536784398318445 × 6371000     		do = 163.947772076948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32688172) × cos(1.00414935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		du = 163.954402479965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00417508)-sin(1.00414935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536784398318445-0.536806107042198)×R²
    abs(-0.32688172--0.32692966)×2.17087237526226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17087237526226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17087237526226e-05×40589641000000     		ar = 26875.8180629951m²