Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58715 / 86043
↖ ↑ ↗
← S 48.971203°
W 18.734436°		 ← 200.45 m → S 48.971203°
W 18.731690°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.973006°
W 18.734436°		 ← 200.44 m →
40 189 m²		 S 48.973006°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447963714599609 y=0.656459808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447963714599609 × 217)
    floor (0.447963714599609 × 131072)
    floor (58715.5)     		tx = 58715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656459808349609 × 217)
    floor (0.656459808349609 × 131072)
    floor (86043.5)     		ty = 86043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58715 / 86043 ti = "17/58715/86043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58715/86043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58715 ÷ 217
    58715 ÷ 131072     		x = 0.447959899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86043 ÷ 217
    86043 ÷ 131072     		y = 0.656455993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447959899902344 × 2 - 1) × π
    -0.104080200195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32697759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656455993652344 × 2 - 1) × π
    -0.312911987304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.983042000508492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32697759} λ = -0.32697759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983042000508492))-π/2
    2×atan(0.374171137059105)-π/2
    2×0.358043797964609-π/2
    0.716087595929219-1.57079632675     		φ = -0.85470873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32697759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.734436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85470873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.971203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58715 KachelY 86043 -0.32697759 -0.85470873 -18.734436 -48.971203
    Oben rechts KachelX + 1 58716 KachelY 86043 -0.32692966 -0.85470873 -18.731690 -48.971203
    Unten links KachelX 58715 KachelY + 1 86044 -0.32697759 -0.85474020 -18.734436 -48.973006
    Unten rechts KachelX + 1 58716 KachelY + 1 86044 -0.32692966 -0.85474020 -18.731690 -48.973006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85470873--0.85474020) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85470873--0.85474020) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32697759--0.32692966) × cos(-0.85470873) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656438265770232 × 6371000     		do = 200.451321405168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32697759--0.32692966) × cos(-0.85474020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		du = 200.44407191035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85470873)-sin(-0.85474020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656438265770232-0.656414525114531)×R²
    abs(-0.32692966--0.32697759)×2.37406557008768e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37406557008768e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37406557008768e-05×40589641000000     		ar = 40188.8351102494m²