Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58714 / 35644
↖ ↑ ↗
← N 63.159316°
W 18.737183°		 ← 137.90 m → N 63.159316°
W 18.734436°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
N 63.158076°
W 18.737183°		 ← 137.91 m →
19 022 m²		 N 63.158076°
W 18.734436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447956085205078 y=0.271945953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447956085205078 × 217)
    floor (0.447956085205078 × 131072)
    floor (58714.5)     		tx = 58714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271945953369141 × 217)
    floor (0.271945953369141 × 131072)
    floor (35644.5)     		ty = 35644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58714 / 35644 ti = "17/58714/35644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58714/35644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58714 ÷ 217
    58714 ÷ 131072     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35644 ÷ 217
    35644 ÷ 131072     		y = 0.271942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271942138671875 × 2 - 1) × π
    0.45611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43292980344272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43292980344272))-π/2
    2×atan(4.19095991118033)-π/2
    2×1.33656717276514-π/2
    2.67313434553029-1.57079632675     		φ = 1.10233802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10233802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.159316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58714 KachelY 35644 -0.32702553 1.10233802 -18.737183 63.159316
    Oben rechts KachelX + 1 58715 KachelY 35644 -0.32697759 1.10233802 -18.734436 63.159316
    Unten links KachelX 58714 KachelY + 1 35645 -0.32702553 1.10231637 -18.737183 63.158076
    Unten rechts KachelX + 1 58715 KachelY + 1 35645 -0.32697759 1.10231637 -18.734436 63.158076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10233802-1.10231637) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dl = 137.932149999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10233802-1.10231637) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dr = 137.932149999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(1.10233802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451511222937754 × 6371000     		do = 137.903149384138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(1.10231637) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451530540378713 × 6371000     		du = 137.909049427838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10233802)-sin(1.10231637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451511222937754-0.451530540378713)×R²
    abs(-0.32697759--0.32702553)×1.93174409593433e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93174409593433e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93174409593433e-05×40589641000000     		ar = 19021.6847898482m²