Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58714 / 31370
↖ ↑ ↗
← N 67.997283°
W 18.737183°		 ← 114.43 m → N 67.997283°
W 18.734436°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
N 67.996254°
W 18.737183°		 ← 114.43 m →
13 093 m²		 N 67.996254°
W 18.734436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447956085205078 y=0.239337921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447956085205078 × 217)
    floor (0.447956085205078 × 131072)
    floor (58714.5)     		tx = 58714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239337921142578 × 217)
    floor (0.239337921142578 × 131072)
    floor (31370.5)     		ty = 31370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58714 / 31370 ti = "17/58714/31370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58714/31370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58714 ÷ 217
    58714 ÷ 131072     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31370 ÷ 217
    31370 ÷ 131072     		y = 0.239334106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239334106445312 × 2 - 1) × π
    0.521331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63781211241884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63781211241884))-π/2
    2×atan(5.14390291040349)-π/2
    2×1.37878640068536-π/2
    2.75757280137073-1.57079632675     		φ = 1.18677647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18677647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.997283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58714 KachelY 31370 -0.32702553 1.18677647 -18.737183 67.997283
    Oben rechts KachelX + 1 58715 KachelY 31370 -0.32697759 1.18677647 -18.734436 67.997283
    Unten links KachelX 58714 KachelY + 1 31371 -0.32702553 1.18675851 -18.737183 67.996254
    Unten rechts KachelX + 1 58715 KachelY + 1 31371 -0.32697759 1.18675851 -18.734436 67.996254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18677647-1.18675851) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18677647-1.18675851) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(1.18677647) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.374650561310469 × 6371000     		do = 114.427924929723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(1.18675851) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.374667213153006 × 6371000     		du = 114.433010831052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18677647)-sin(1.18675851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374650561310469-0.374667213153006)×R²
    abs(-0.32697759--0.32702553)×1.66518425367967e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66518425367967e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66518425367967e-05×40589641000000     		ar = 13093.4957354959m²