Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58713 / 85913
↖ ↑ ↗
← S 48.736267°
W 18.739929°		 ← 201.44 m → S 48.736267°
W 18.737183°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.738078°
W 18.739929°		 ← 201.43 m →
40 579 m²		 S 48.738078°
W 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447948455810547 y=0.655467987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447948455810547 × 217)
    floor (0.447948455810547 × 131072)
    floor (58713.5)     		tx = 58713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655467987060547 × 217)
    floor (0.655467987060547 × 131072)
    floor (85913.5)     		ty = 85913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58713 / 85913 ti = "17/58713/85913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58713/85913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58713 ÷ 217
    58713 ÷ 131072     		x = 0.447944641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85913 ÷ 217
    85913 ÷ 131072     		y = 0.655464172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447944641113281 × 2 - 1) × π
    -0.104110717773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32707347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655464172363281 × 2 - 1) × π
    -0.310928344726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.976810203557884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32707347} λ = -0.32707347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976810203557884))-π/2
    2×atan(0.376510176248913)-π/2
    2×0.360094002604136-π/2
    0.720188005208272-1.57079632675     		φ = -0.85060832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32707347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.739929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85060832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.736267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58713 KachelY 85913 -0.32707347 -0.85060832 -18.739929 -48.736267
    Oben rechts KachelX + 1 58714 KachelY 85913 -0.32702553 -0.85060832 -18.737183 -48.736267
    Unten links KachelX 58713 KachelY + 1 85914 -0.32707347 -0.85063994 -18.739929 -48.738078
    Unten rechts KachelX + 1 58714 KachelY + 1 85914 -0.32702553 -0.85063994 -18.737183 -48.738078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85060832--0.85063994) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85060832--0.85063994) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32707347--0.32702553) × cos(-0.85060832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659526004902673 × 6371000     		do = 201.43621809651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32707347--0.32702553) × cos(-0.85063994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65950223639613 × 6371000     		du = 201.428958582811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85060832)-sin(-0.85063994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659526004902673-0.65950223639613)×R²
    abs(-0.32702553--0.32707347)×2.37685065430648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37685065430648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37685065430648e-05×40589641000000     		ar = 40578.8003855786m²