Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58712 / 85911
↖ ↑ ↗
← S 48.732644°
W 18.742676°		 ← 201.41 m → S 48.732644°
W 18.739929°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.734456°
W 18.742676°		 ← 201.40 m →
40 573 m²		 S 48.734456°
W 18.739929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447940826416016 y=0.655452728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447940826416016 × 217)
    floor (0.447940826416016 × 131072)
    floor (58712.5)     		tx = 58712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655452728271484 × 217)
    floor (0.655452728271484 × 131072)
    floor (85911.5)     		ty = 85911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58712 / 85911 ti = "17/58712/85911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58712/85911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58712 ÷ 217
    58712 ÷ 131072     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85911 ÷ 217
    85911 ÷ 131072     		y = 0.655448913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655448913574219 × 2 - 1) × π
    -0.310897827148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.976714329758644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976714329758644))-π/2
    2×atan(0.376546275440418)-π/2
    2×0.360125619375194-π/2
    0.720251238750388-1.57079632675     		φ = -0.85054509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85054509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.732644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58712 KachelY 85911 -0.32712140 -0.85054509 -18.742676 -48.732644
    Oben rechts KachelX + 1 58713 KachelY 85911 -0.32707347 -0.85054509 -18.739929 -48.732644
    Unten links KachelX 58712 KachelY + 1 85912 -0.32712140 -0.85057671 -18.742676 -48.734456
    Unten rechts KachelX + 1 58713 KachelY + 1 85912 -0.32707347 -0.85057671 -18.739929 -48.734456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85054509--0.85057671) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85054509--0.85057671) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(-0.85054509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659573532421104 × 6371000     		do = 201.408712794503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(-0.85057671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659549765233197 × 6371000     		du = 201.401455197756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85054509)-sin(-0.85057671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659573532421104-0.659549765233197)×R²
    abs(-0.32707347--0.32712140)×2.37671879074197e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37671879074197e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37671879074197e-05×40589641000000     		ar = 40573.2596074847m²