Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58712 / 44984
↖ ↑ ↗
← N 49.052270°
W 18.742676°		 ← 200.13 m → N 49.052270°
W 18.739929°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.050470°
W 18.742676°		 ← 200.13 m →
40 061 m²		 N 49.050470°
W 18.739929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447940826416016 y=0.343204498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447940826416016 × 217)
    floor (0.447940826416016 × 131072)
    floor (58712.5)     		tx = 58712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343204498291016 × 217)
    floor (0.343204498291016 × 131072)
    floor (44984.5)     		ty = 44984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58712 / 44984 ti = "17/58712/44984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58712/44984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58712 ÷ 217
    58712 ÷ 131072     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44984 ÷ 217
    44984 ÷ 131072     		y = 0.34320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34320068359375 × 2 - 1) × π
    0.3135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985199160991394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985199160991394))-π/2
    2×atan(2.67834525320208)-π/2
    2×1.213459974161-π/2
    2.426919948322-1.57079632675     		φ = 0.85612362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85612362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.052270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58712 KachelY 44984 -0.32712140 0.85612362 -18.742676 49.052270
    Oben rechts KachelX + 1 58713 KachelY 44984 -0.32707347 0.85612362 -18.739929 49.052270
    Unten links KachelX 58712 KachelY + 1 44985 -0.32712140 0.85609220 -18.742676 49.050470
    Unten rechts KachelX + 1 58713 KachelY + 1 44985 -0.32707347 0.85609220 -18.739929 49.050470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85612362-0.85609220) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85612362-0.85609220) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(0.85612362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		do = 200.12518832311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(0.85609220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655393976146284 × 6371000     		du = 200.132435005923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85612362)-sin(0.85609220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65537024469934-0.655393976146284)×R²
    abs(-0.32707347--0.32712140)×2.37314469441197e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37314469441197e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37314469441197e-05×40589641000000     		ar = 40061.1491127386m²