Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58712 / 35646
↖ ↑ ↗
← N 63.156836°
W 18.742676°		 ← 137.89 m → N 63.156836°
W 18.739929°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
N 63.155595°
W 18.742676°		 ← 137.89 m →
19 019 m²		 N 63.155595°
W 18.739929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447940826416016 y=0.271961212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447940826416016 × 217)
    floor (0.447940826416016 × 131072)
    floor (58712.5)     		tx = 58712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271961212158203 × 217)
    floor (0.271961212158203 × 131072)
    floor (35646.5)     		ty = 35646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58712 / 35646 ti = "17/58712/35646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58712/35646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58712 ÷ 217
    58712 ÷ 131072     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35646 ÷ 217
    35646 ÷ 131072     		y = 0.271957397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271957397460938 × 2 - 1) × π
    0.456085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43283392964348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43283392964348))-π/2
    2×atan(4.19055812719177)-π/2
    2×1.33654552779113-π/2
    2.67309105558226-1.57079632675     		φ = 1.10229473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10229473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.156836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58712 KachelY 35646 -0.32712140 1.10229473 -18.742676 63.156836
    Oben rechts KachelX + 1 58713 KachelY 35646 -0.32707347 1.10229473 -18.739929 63.156836
    Unten links KachelX 58712 KachelY + 1 35647 -0.32712140 1.10227308 -18.742676 63.155595
    Unten rechts KachelX + 1 58713 KachelY + 1 35647 -0.32707347 1.10227308 -18.739929 63.155595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10229473-1.10227308) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dl = 137.932149999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10229473-1.10227308) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dr = 137.932149999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(1.10229473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451549848685572 × 6371000     		do = 137.886178440903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(1.10227308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451569165703335 × 6371000     		du = 137.892077124661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10229473)-sin(1.10227308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451549848685572-0.451569165703335)×R²
    abs(-0.32707347--0.32712140)×1.9317017763032e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9317017763032e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9317017763032e-05×40589641000000     		ar = 19019.3438573578m²