Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58711 / 37753
↖ ↑ ↗
← N 60.423344°
W 18.745422°		 ← 150.75 m → N 60.423344°
W 18.742676°		 →
↑
150.74 m
↓
↑
150.74 m
↓
N 60.421988°
W 18.745422°		 ← 150.76 m →
22 725 m²		 N 60.421988°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447933197021484 y=0.288036346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447933197021484 × 217)
    floor (0.447933197021484 × 131072)
    floor (58711.5)     		tx = 58711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288036346435547 × 217)
    floor (0.288036346435547 × 131072)
    floor (37753.5)     		ty = 37753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58711 / 37753 ti = "17/58711/37753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58711/37753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58711 ÷ 217
    58711 ÷ 131072     		x = 0.447929382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37753 ÷ 217
    37753 ÷ 131072     		y = 0.288032531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447929382324219 × 2 - 1) × π
    -0.104141235351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32716934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288032531738281 × 2 - 1) × π
    0.423934936523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.33183088214402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32716934} λ = -0.32716934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33183088214402))-π/2
    2×atan(3.78797237353562)-π/2
    2×1.31269130784062-π/2
    2.62538261568124-1.57079632675     		φ = 1.05458629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32716934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.745422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05458629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.423344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58711 KachelY 37753 -0.32716934 1.05458629 -18.745422 60.423344
    Oben rechts KachelX + 1 58712 KachelY 37753 -0.32712140 1.05458629 -18.742676 60.423344
    Unten links KachelX 58711 KachelY + 1 37754 -0.32716934 1.05456263 -18.745422 60.421988
    Unten rechts KachelX + 1 58712 KachelY + 1 37754 -0.32712140 1.05456263 -18.742676 60.421988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05458629-1.05456263) × R
    2.36600000000919e-05 × 6371000     		dl = 150.737860000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05458629-1.05456263) × R
    2.36600000000919e-05 × 6371000     		dr = 150.737860000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32716934--0.32712140) × cos(1.05458629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493587574413413 × 6371000     		do = 150.754350169923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32716934--0.32712140) × cos(1.05456263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493608151284983 × 6371000     		du = 150.760634876149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05458629)-sin(1.05456263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493587574413413-0.493608151284983)×R²
    abs(-0.32712140--0.32716934)×2.05768715705323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05768715705323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05768715705323e-05×40589641000000     		ar = 22724.8618030304m²