Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58711 / 35647
↖ ↑ ↗
← N 63.155595°
W 18.745422°		 ← 137.92 m → N 63.155595°
W 18.742676°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 63.154355°
W 18.745422°		 ← 137.93 m →
19 015 m²		 N 63.154355°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447933197021484 y=0.271968841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447933197021484 × 217)
    floor (0.447933197021484 × 131072)
    floor (58711.5)     		tx = 58711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271968841552734 × 217)
    floor (0.271968841552734 × 131072)
    floor (35647.5)     		ty = 35647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58711 / 35647 ti = "17/58711/35647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58711/35647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58711 ÷ 217
    58711 ÷ 131072     		x = 0.447929382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35647 ÷ 217
    35647 ÷ 131072     		y = 0.271965026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447929382324219 × 2 - 1) × π
    -0.104141235351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32716934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271965026855469 × 2 - 1) × π
    0.456069946289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.43278599274386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32716934} λ = -0.32716934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43278599274386))-π/2
    2×atan(4.19035724964224)-π/2
    2×1.33653470460976-π/2
    2.67306940921952-1.57079632675     		φ = 1.10227308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32716934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.745422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10227308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.155595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58711 KachelY 35647 -0.32716934 1.10227308 -18.745422 63.155595
    Oben rechts KachelX + 1 58712 KachelY 35647 -0.32712140 1.10227308 -18.742676 63.155595
    Unten links KachelX 58711 KachelY + 1 35648 -0.32716934 1.10225144 -18.745422 63.154355
    Unten rechts KachelX + 1 58712 KachelY + 1 35648 -0.32712140 1.10225144 -18.742676 63.154355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10227308-1.10225144) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dl = 137.868439999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10227308-1.10225144) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dr = 137.868439999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32716934--0.32712140) × cos(1.10227308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451569165703335 × 6371000     		do = 137.920846596033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32716934--0.32712140) × cos(1.10225144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451588473587174 × 6371000     		du = 137.926743720743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10227308)-sin(1.10225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451569165703335-0.451588473587174)×R²
    abs(-0.32712140--0.32716934)×1.93078838390259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93078838390259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93078838390259e-05×40589641000000     		ar = 19015.3384780045m²