Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58710 / 31290
↖ ↑ ↗
← N 68.079458°
W 18.748169°		 ← 114.02 m → N 68.079458°
W 18.745422°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
N 68.078432°
W 18.748169°		 ← 114.03 m →
13 003 m²		 N 68.078432°
W 18.745422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447925567626953 y=0.238727569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447925567626953 × 217)
    floor (0.447925567626953 × 131072)
    floor (58710.5)     		tx = 58710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238727569580078 × 217)
    floor (0.238727569580078 × 131072)
    floor (31290.5)     		ty = 31290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58710 / 31290 ti = "17/58710/31290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58710/31290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58710 ÷ 217
    58710 ÷ 131072     		x = 0.447921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31290 ÷ 217
    31290 ÷ 131072     		y = 0.238723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238723754882812 × 2 - 1) × π
    0.522552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64164706438844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32721728} λ = -0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64164706438844))-π/2
    2×atan(5.16366740472161)-π/2
    2×1.37950350824199-π/2
    2.75900701648399-1.57079632675     		φ = 1.18821069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18821069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.079458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58710 KachelY 31290 -0.32721728 1.18821069 -18.748169 68.079458
    Oben rechts KachelX + 1 58711 KachelY 31290 -0.32716934 1.18821069 -18.745422 68.079458
    Unten links KachelX 58710 KachelY + 1 31291 -0.32721728 1.18819279 -18.748169 68.078432
    Unten rechts KachelX + 1 58711 KachelY + 1 31291 -0.32716934 1.18819279 -18.745422 68.078432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18821069-1.18819279) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18821069-1.18819279) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32721728--0.32716934) × cos(1.18821069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373320416292338 × 6371000     		do = 114.021664403253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32721728--0.32716934) × cos(1.18819279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373337022106684 × 6371000     		du = 114.026736246388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18821069)-sin(1.18819279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373320416292338-0.373337022106684)×R²
    abs(-0.32716934--0.32721728)×1.66058143458159e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66058143458159e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66058143458159e-05×40589641000000     		ar = 13003.4224272299m²