Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5871 / 7023
↖ ↑ ↗
← N 24.866502°
W 50.998535°		 ← 2 216.70 m → N 24.866502°
W 50.976563°		 →
↑
2 216.92 m
↓
↑
2 216.92 m
↓
N 24.846565°
W 50.998535°		 ← 2 217.06 m →
4 914 646 m²		 N 24.846565°
W 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358367919921875 y=0.428680419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358367919921875 × 214)
    floor (0.358367919921875 × 16384)
    floor (5871.5)     		tx = 5871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428680419921875 × 214)
    floor (0.428680419921875 × 16384)
    floor (7023.5)     		ty = 7023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5871 / 7023 ti = "14/5871/7023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5871/7023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5871 ÷ 214
    5871 ÷ 16384     		x = 0.35833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7023 ÷ 214
    7023 ÷ 16384     		y = 0.42864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.2833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89009235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42864990234375 × 2 - 1) × π
    0.1427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.448305885246765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89009235} λ = -0.89009235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448305885246765))-π/2
    2×atan(1.56565753395613)-π/2
    2×1.00239933466682-π/2
    2.00479866933364-1.57079632675     		φ = 0.43400234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89009235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43400234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.866502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5871 KachelY 7023 -0.89009235 0.43400234 -50.998535 24.866502
    Oben rechts KachelX + 1 5872 KachelY 7023 -0.88970886 0.43400234 -50.976563 24.866502
    Unten links KachelX 5871 KachelY + 1 7024 -0.89009235 0.43365437 -50.998535 24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 5872 KachelY + 1 7024 -0.88970886 0.43365437 -50.976563 24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43400234-0.43365437) × R
    0.000347969999999975 × 6371000     		dl = 2216.91686999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43400234-0.43365437) × R
    0.000347969999999975 × 6371000     		dr = 2216.91686999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89009235--0.88970886) × cos(0.43400234) × R
    0.000383489999999931 × 0.90729001521523 × 6371000     		do = 2216.70438399278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89009235--0.88970886) × cos(0.43365437) × R
    0.000383489999999931 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 2217.0617489829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43400234)-sin(0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90729001521523-0.907436283562814)×R²
    abs(-0.88970886--0.89009235)×0.000146268347583911×R²
    0.000383489999999931×0.000146268347583911×6371000²
    0.000383489999999931×0.000146268347583911×40589641000000     		ar = 4914645.51850364m²