Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58709 / 29325
↖ ↑ ↗
← N 70.008384°
W 18.750915°		 ← 104.40 m → N 70.008384°
W 18.748169°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.007445°
W 18.750915°		 ← 104.40 m →
10 902 m²		 N 70.007445°
W 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447917938232422 y=0.223735809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447917938232422 × 217)
    floor (0.447917938232422 × 131072)
    floor (58709.5)     		tx = 58709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223735809326172 × 217)
    floor (0.223735809326172 × 131072)
    floor (29325.5)     		ty = 29325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58709 / 29325 ti = "17/58709/29325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58709/29325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58709 ÷ 217
    58709 ÷ 131072     		x = 0.447914123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29325 ÷ 217
    29325 ÷ 131072     		y = 0.223731994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447914123535156 × 2 - 1) × π
    -0.104171752929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32726521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223731994628906 × 2 - 1) × π
    0.552536010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73584307214185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32726521} λ = -0.32726521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73584307214185))-π/2
    2×atan(5.67370913413054)-π/2
    2×1.39633656371449-π/2
    2.79267312742897-1.57079632675     		φ = 1.22187680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32726521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.750915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22187680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.008384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58709 KachelY 29325 -0.32726521 1.22187680 -18.750915 70.008384
    Oben rechts KachelX + 1 58710 KachelY 29325 -0.32721728 1.22187680 -18.748169 70.008384
    Unten links KachelX 58709 KachelY + 1 29326 -0.32726521 1.22186041 -18.750915 70.007445
    Unten rechts KachelX + 1 58710 KachelY + 1 29326 -0.32721728 1.22186041 -18.748169 70.007445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22187680-1.22186041) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22187680-1.22186041) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32726521--0.32721728) × cos(1.22187680) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.341882640453835 × 6371000     		do = 104.397977110686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32726521--0.32721728) × cos(1.22186041) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.341898042790051 × 6371000     		du = 104.40268039934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22187680)-sin(1.22186041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341882640453835-0.341898042790051)×R²
    abs(-0.32721728--0.32726521)×1.54023362165523e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54023362165523e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54023362165523e-05×40589641000000     		ar = 10901.5543650485m²