Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58708 / 39787
↖ ↑ ↗
← N 57.546787°
W 18.753662°		 ← 163.89 m → N 57.546787°
W 18.750915°		 →
↑
163.86 m
↓
↑
163.86 m
↓
N 57.545313°
W 18.753662°		 ← 163.90 m →
26 857 m²		 N 57.545313°
W 18.750915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447910308837891 y=0.303554534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447910308837891 × 217)
    floor (0.447910308837891 × 131072)
    floor (58708.5)     		tx = 58708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303554534912109 × 217)
    floor (0.303554534912109 × 131072)
    floor (39787.5)     		ty = 39787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58708 / 39787 ti = "17/58708/39787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58708/39787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58708 ÷ 217
    58708 ÷ 131072     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39787 ÷ 217
    39787 ÷ 131072     		y = 0.303550720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303550720214844 × 2 - 1) × π
    0.392898559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.23432722831683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23432722831683))-π/2
    2×atan(3.43606605496832)-π/2
    2×1.28758861489876-π/2
    2.57517722979752-1.57079632675     		φ = 1.00438090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00438090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.546787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58708 KachelY 39787 -0.32731315 1.00438090 -18.753662 57.546787
    Oben rechts KachelX + 1 58709 KachelY 39787 -0.32726521 1.00438090 -18.750915 57.546787
    Unten links KachelX 58708 KachelY + 1 39788 -0.32731315 1.00435518 -18.753662 57.545313
    Unten rechts KachelX + 1 58709 KachelY + 1 39788 -0.32726521 1.00435518 -18.750915 57.545313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00438090-1.00435518) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dl = 163.862120000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00438090-1.00435518) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dr = 163.862120000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(1.00438090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536610732612948 × 6371000     		do = 163.894730100334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(1.00435518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536632435740812 × 6371000     		du = 163.901358794222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00438090)-sin(1.00435518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536610732612948-0.536632435740812)×R²
    abs(-0.32726521--0.32731315)×2.17031278644253e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17031278644253e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17031278644253e-05×40589641000000     		ar = 26856.6810285595m²