Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58707 / 45037
↖ ↑ ↗
← N 48.956777°
W 18.756409°		 ← 200.55 m → N 48.956777°
W 18.753662°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.954974°
W 18.756409°		 ← 200.56 m →
40 210 m²		 N 48.954974°
W 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447902679443359 y=0.343608856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447902679443359 × 217)
    floor (0.447902679443359 × 131072)
    floor (58707.5)     		tx = 58707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343608856201172 × 217)
    floor (0.343608856201172 × 131072)
    floor (45037.5)     		ty = 45037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58707 / 45037 ti = "17/58707/45037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58707/45037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58707 ÷ 217
    58707 ÷ 131072     		x = 0.447898864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45037 ÷ 217
    45037 ÷ 131072     		y = 0.343605041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447898864746094 × 2 - 1) × π
    -0.104202270507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32736109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343605041503906 × 2 - 1) × π
    0.312789916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.982658505311531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32736109} λ = -0.32736109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982658505311531))-π/2
    2×atan(2.67154913707313)-π/2
    2×1.21262664016175-π/2
    2.4252532803235-1.57079632675     		φ = 0.85445695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32736109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.756409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85445695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.956777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58707 KachelY 45037 -0.32736109 0.85445695 -18.756409 48.956777
    Oben rechts KachelX + 1 58708 KachelY 45037 -0.32731315 0.85445695 -18.753662 48.956777
    Unten links KachelX 58707 KachelY + 1 45038 -0.32736109 0.85442548 -18.756409 48.954974
    Unten rechts KachelX + 1 58708 KachelY + 1 45038 -0.32731315 0.85442548 -18.753662 48.954974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85445695-0.85442548) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85445695-0.85442548) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32736109--0.32731315) × cos(0.85445695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656628182694166 × 6371000     		do = 200.551148604321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32736109--0.32731315) × cos(0.85442548) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65665191749761 × 6371000     		du = 200.558397824227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85445695)-sin(0.85442548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656628182694166-0.65665191749761)×R²
    abs(-0.32731315--0.32736109)×2.37348034441975e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37348034441975e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37348034441975e-05×40589641000000     		ar = 40210.3034642338m²