Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58706 / 39786
↖ ↑ ↗
← N 57.548261°
W 18.759155°		 ← 163.85 m → N 57.548261°
W 18.756409°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.546787°
W 18.759155°		 ← 163.86 m →
26 860 m²		 N 57.546787°
W 18.756409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447895050048828 y=0.303546905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447895050048828 × 217)
    floor (0.447895050048828 × 131072)
    floor (58706.5)     		tx = 58706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303546905517578 × 217)
    floor (0.303546905517578 × 131072)
    floor (39786.5)     		ty = 39786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58706 / 39786 ti = "17/58706/39786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58706/39786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58706 ÷ 217
    58706 ÷ 131072     		x = 0.447891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39786 ÷ 217
    39786 ÷ 131072     		y = 0.303543090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303543090820312 × 2 - 1) × π
    0.392913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23437516521645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32740902} λ = -0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23437516521645))-π/2
    2×atan(3.43623077326989)-π/2
    2×1.28760147636598-π/2
    2.57520295273197-1.57079632675     		φ = 1.00440663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00440663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.548261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58706 KachelY 39786 -0.32740902 1.00440663 -18.759155 57.548261
    Oben rechts KachelX + 1 58707 KachelY 39786 -0.32736109 1.00440663 -18.756409 57.548261
    Unten links KachelX 58706 KachelY + 1 39787 -0.32740902 1.00438090 -18.759155 57.546787
    Unten rechts KachelX + 1 58707 KachelY + 1 39787 -0.32736109 1.00438090 -18.756409 57.546787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00440663-1.00438090) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dl = 163.925830001071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00440663-1.00438090) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dr = 163.925830001071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(1.00440663) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.536589020691668 × 6371000     		do = 163.85391263403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(1.00438090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.536610732612948 × 6371000     		du = 163.860542630387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00440663)-sin(1.00438090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536589020691668-0.536610732612948)×R²
    abs(-0.32736109--0.32740902)×2.17119212797545e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.17119212797545e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.17119212797545e-05×40589641000000     		ar = 26860.4320427189m²