Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58703 / 29404
↖ ↑ ↗
← N 69.934070°
W 18.767395°		 ← 104.79 m → N 69.934070°
W 18.764649°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 69.933127°
W 18.767395°		 ← 104.80 m →
10 983 m²		 N 69.933127°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447872161865234 y=0.224338531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447872161865234 × 217)
    floor (0.447872161865234 × 131072)
    floor (58703.5)     		tx = 58703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224338531494141 × 217)
    floor (0.224338531494141 × 131072)
    floor (29404.5)     		ty = 29404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58703 / 29404 ti = "17/58703/29404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58703/29404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58703 ÷ 217
    58703 ÷ 131072     		x = 0.447868347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29404 ÷ 217
    29404 ÷ 131072     		y = 0.224334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447868347167969 × 2 - 1) × π
    -0.104263305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32755284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224334716796875 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73205605707187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32755284} λ = -0.32755284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73205605707187))-π/2
    2×atan(5.65226334552955)-π/2
    2×1.39568805325977-π/2
    2.79137610651955-1.57079632675     		φ = 1.22057978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32755284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.767395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22057978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.934070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58703 KachelY 29404 -0.32755284 1.22057978 -18.767395 69.934070
    Oben rechts KachelX + 1 58704 KachelY 29404 -0.32750490 1.22057978 -18.764649 69.934070
    Unten links KachelX 58703 KachelY + 1 29405 -0.32755284 1.22056333 -18.767395 69.933127
    Unten rechts KachelX + 1 58704 KachelY + 1 29405 -0.32750490 1.22056333 -18.764649 69.933127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22057978-1.22056333) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22057978-1.22056333) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(1.22057978) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343101217564372 × 6371000     		do = 104.791943269552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(1.22056333) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343116668977244 × 6371000     		du = 104.796662528763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22057978)-sin(1.22056333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343101217564372-0.343116668977244)×R²
    abs(-0.32750490--0.32755284)×1.54514128725136e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54514128725136e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54514128725136e-05×40589641000000     		ar = 10982.7520872118m²