Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5870 / 2314
↖ ↑ ↗
← N 82.294175°
W115.510254°		 ← 163.81 m → N 82.294175°
W115.499267°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 82.292702°
W115.510254°		 ← 163.84 m →
26 834 m²		 N 82.292702°
W115.499267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179153442382812 y=0.0706329345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179153442382812 × 215)
    floor (0.179153442382812 × 32768)
    floor (5870.5)     		tx = 5870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0706329345703125 × 215)
    floor (0.0706329345703125 × 32768)
    floor (2314.5)     		ty = 2314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5870 / 2314 ti = "15/5870/2314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5870/2314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5870 ÷ 215
    5870 ÷ 32768     		x = 0.17913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2314 ÷ 215
    2314 ÷ 32768     		y = 0.07061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.6417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01603425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07061767578125 × 2 - 1) × π
    0.8587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69788871061676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01603425} λ = -2.01603425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69788871061676))-π/2
    2×atan(14.8483494454507)-π/2
    2×1.50355032027686-π/2
    3.00710064055373-1.57079632675     		φ = 1.43630431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01603425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43630431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.294175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5870 KachelY 2314 -2.01603425 1.43630431 -115.510254 82.294175
    Oben rechts KachelX + 1 5871 KachelY 2314 -2.01584250 1.43630431 -115.499267 82.294175
    Unten links KachelX 5870 KachelY + 1 2315 -2.01603425 1.43627860 -115.510254 82.292702
    Unten rechts KachelX + 1 5871 KachelY + 1 2315 -2.01584250 1.43627860 -115.499267 82.292702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43630431-1.43627860) × R
    2.57099999998456e-05 × 6371000     		dl = 163.798409999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43630431-1.43627860) × R
    2.57099999998456e-05 × 6371000     		dr = 163.798409999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01603425--2.01584250) × cos(1.43630431) × R
    0.000191749999999935 × 0.134086932429522 × 6371000     		do = 163.805859567946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01603425--2.01584250) × cos(1.43627860) × R
    0.000191749999999935 × 0.134112410212924 × 6371000     		du = 163.836984228153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43630431)-sin(1.43627860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134086932429522-0.134112410212924)×R²
    abs(-2.01584250--2.01603425)×2.54777834020614e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54777834020614e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54777834020614e-05×40589641000000     		ar = 26833.6884326163m²