Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 587 / 251
↖ ↑ ↗
← N 82.732092°
W128.408203°		 ← 1 236.37 m → N 82.732092°
W128.320312°		 →
↑
1 237.31 m
↓
↑
1 237.31 m
↓
N 82.720964°
W128.408203°		 ← 1 238.25 m →
1 530 941 m²		 N 82.720964°
W128.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1434326171875 y=0.0614013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1434326171875 × 212)
    floor (0.1434326171875 × 4096)
    floor (587.5)     		tx = 587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0614013671875 × 212)
    floor (0.0614013671875 × 4096)
    floor (251.5)     		ty = 251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 587 / 251 ti = "12/587/251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/587/251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 587 ÷ 212
    587 ÷ 4096     		x = 0.143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 251 ÷ 212
    251 ÷ 4096     		y = 0.061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.71337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.24114593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061279296875 × 2 - 1) × π
    0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24114593} λ = -2.24114593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75656347575171))-π/2
    2×atan(15.7456395937643)-π/2
    2×1.50737186272205-π/2
    3.01474372544411-1.57079632675     		φ = 1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24114593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.408203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 587 KachelY 251 -2.24114593 1.44394740 -128.408203 82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 588 KachelY 251 -2.23961195 1.44394740 -128.320312 82.732092
    Unten links KachelX 587 KachelY + 1 252 -2.24114593 1.44375319 -128.408203 82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 588 KachelY + 1 252 -2.23961195 1.44375319 -128.320312 82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44394740-1.44375319) × R
    0.000194210000000083 × 6371000     		dl = 1237.31191000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44394740-1.44375319) × R
    0.000194210000000083 × 6371000     		dr = 1237.31191000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24114593--2.23961195) × cos(1.44394740) × R
    0.00153398000000005 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 1236.37095559511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24114593--2.23961195) × cos(1.44375319) × R
    0.00153398000000005 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 1238.2536943337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44394740)-sin(1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126701667315055)×R²
    abs(-2.23961195--2.24114593)×0.000192647224385056×R²
    0.00153398000000005×0.000192647224385056×6371000²
    0.00153398000000005×0.000192647224385056×40589641000000     		ar = 1530941.28088143m²