Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58699 / 39311
↖ ↑ ↗
← N 58.241609°
W 18.778381°		 ← 160.72 m → N 58.241609°
W 18.775635°		 →
↑
160.74 m
↓
↑
160.74 m
↓
N 58.240164°
W 18.778381°		 ← 160.73 m →
25 835 m²		 N 58.240164°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447841644287109 y=0.299922943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447841644287109 × 217)
    floor (0.447841644287109 × 131072)
    floor (58699.5)     		tx = 58699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299922943115234 × 217)
    floor (0.299922943115234 × 131072)
    floor (39311.5)     		ty = 39311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58699 / 39311 ti = "17/58699/39311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58699/39311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58699 ÷ 217
    58699 ÷ 131072     		x = 0.447837829589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39311 ÷ 217
    39311 ÷ 131072     		y = 0.299919128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447837829589844 × 2 - 1) × π
    -0.104324340820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32774458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299919128417969 × 2 - 1) × π
    0.400161743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25714519253597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32774458} λ = -0.32774458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25714519253597))-π/2
    2×atan(3.51537144008999)-π/2
    2×1.2936520845281-π/2
    2.5873041690562-1.57079632675     		φ = 1.01650784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32774458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.778381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01650784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.241609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58699 KachelY 39311 -0.32774458 1.01650784 -18.778381 58.241609
    Oben rechts KachelX + 1 58700 KachelY 39311 -0.32769665 1.01650784 -18.775635 58.241609
    Unten links KachelX 58699 KachelY + 1 39312 -0.32774458 1.01648261 -18.778381 58.240164
    Unten rechts KachelX + 1 58700 KachelY + 1 39312 -0.32769665 1.01648261 -18.775635 58.240164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01650784-1.01648261) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dl = 160.740330000626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01650784-1.01648261) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dr = 160.740330000626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32774458--0.32769665) × cos(1.01650784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.526338451485258 × 6371000     		do = 160.723778012693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32774458--0.32769665) × cos(1.01648261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.526359903759825 × 6371000     		du = 160.730328722803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01650784)-sin(1.01648261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526338451485258-0.526359903759825)×R²
    abs(-0.32769665--0.32774458)×2.14522745672907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14522745672907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14522745672907e-05×40589641000000     		ar = 25835.3195995386m²