Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58698 / 39306
↖ ↑ ↗
← N 58.248836°
W 18.781128°		 ← 160.72 m → N 58.248836°
W 18.778381°		 →
↑
160.68 m
↓
↑
160.68 m
↓
N 58.247391°
W 18.781128°		 ← 160.73 m →
25 825 m²		 N 58.247391°
W 18.778381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447834014892578 y=0.299884796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447834014892578 × 217)
    floor (0.447834014892578 × 131072)
    floor (58698.5)     		tx = 58698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299884796142578 × 217)
    floor (0.299884796142578 × 131072)
    floor (39306.5)     		ty = 39306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58698 / 39306 ti = "17/58698/39306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58698/39306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58698 ÷ 217
    58698 ÷ 131072     		x = 0.447830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39306 ÷ 217
    39306 ÷ 131072     		y = 0.299880981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    -0.104339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32779252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299880981445312 × 2 - 1) × π
    0.400238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25738487703407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32779252} λ = -0.32779252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25738487703407))-π/2
    2×atan(3.516214121114)-π/2
    2×1.29371515568439-π/2
    2.58743031136878-1.57079632675     		φ = 1.01663398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32779252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.781128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01663398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.248836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58698 KachelY 39306 -0.32779252 1.01663398 -18.781128 58.248836
    Oben rechts KachelX + 1 58699 KachelY 39306 -0.32774458 1.01663398 -18.778381 58.248836
    Unten links KachelX 58698 KachelY + 1 39307 -0.32779252 1.01660876 -18.781128 58.247391
    Unten rechts KachelX + 1 58699 KachelY + 1 39307 -0.32774458 1.01660876 -18.778381 58.247391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01663398-1.01660876) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dl = 160.676619999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01663398-1.01660876) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dr = 160.676619999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(1.01663398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.526231193590476 × 6371000     		do = 160.724551713349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(1.01660876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.526252639036703 × 6371000     		du = 160.731101704632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01663398)-sin(1.01660876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526231193590476-0.526252639036703)×R²
    abs(-0.32774458--0.32779252)×2.1445446226509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1445446226509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1445446226509e-05×40589641000000     		ar = 25825.2039368326m²