Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58696 / 45432
↖ ↑ ↗
← N 48.239309°
W 18.786621°		 ← 203.38 m → N 48.239309°
W 18.783875°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 48.237479°
W 18.786621°		 ← 203.38 m →
41 373 m²		 N 48.237479°
W 18.783875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447818756103516 y=0.346622467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447818756103516 × 217)
    floor (0.447818756103516 × 131072)
    floor (58696.5)     		tx = 58696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346622467041016 × 217)
    floor (0.346622467041016 × 131072)
    floor (45432.5)     		ty = 45432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58696 / 45432 ti = "17/58696/45432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58696/45432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58696 ÷ 217
    58696 ÷ 131072     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45432 ÷ 217
    45432 ÷ 131072     		y = 0.34661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34661865234375 × 2 - 1) × π
    0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963723429961609))-π/2
    2×atan(2.62143906900315)-π/2
    2×1.20636554877165-π/2
    2.4127310975433-1.57079632675     		φ = 0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58696 KachelY 45432 -0.32788839 0.84193477 -18.786621 48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 58697 KachelY 45432 -0.32784046 0.84193477 -18.783875 48.239309
    Unten links KachelX 58696 KachelY + 1 45433 -0.32788839 0.84190284 -18.786621 48.237479
    Unten rechts KachelX + 1 58697 KachelY + 1 45433 -0.32784046 0.84190284 -18.783875 48.237479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84193477-0.84190284) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84193477-0.84190284) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(0.84193477) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 203.377483145763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(0.84190284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66604468160762 × 6371000     		du = 203.384756046295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84193477)-sin(0.84190284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.66604468160762)×R²
    abs(-0.32784046--0.32788839)×2.38173047655277e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38173047655277e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38173047655277e-05×40589641000000     		ar = 41373.0137399345m²