Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58696 / 39192
↖ ↑ ↗
← N 58.413223°
W 18.786621°		 ← 159.95 m → N 58.413223°
W 18.783875°		 →
↑
159.98 m
↓
↑
159.98 m
↓
N 58.411784°
W 18.786621°		 ← 159.95 m →
25 588 m²		 N 58.411784°
W 18.783875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447818756103516 y=0.299015045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447818756103516 × 217)
    floor (0.447818756103516 × 131072)
    floor (58696.5)     		tx = 58696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299015045166016 × 217)
    floor (0.299015045166016 × 131072)
    floor (39192.5)     		ty = 39192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58696 / 39192 ti = "17/58696/39192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58696/39192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58696 ÷ 217
    58696 ÷ 131072     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39192 ÷ 217
    39192 ÷ 131072     		y = 0.29901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29901123046875 × 2 - 1) × π
    0.4019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26284968359076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26284968359076))-π/2
    2×atan(3.53548215117442)-π/2
    2×1.29514969384087-π/2
    2.59029938768173-1.57079632675     		φ = 1.01950306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01950306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.413223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58696 KachelY 39192 -0.32788839 1.01950306 -18.786621 58.413223
    Oben rechts KachelX + 1 58697 KachelY 39192 -0.32784046 1.01950306 -18.783875 58.413223
    Unten links KachelX 58696 KachelY + 1 39193 -0.32788839 1.01947795 -18.786621 58.411784
    Unten rechts KachelX + 1 58697 KachelY + 1 39193 -0.32784046 1.01947795 -18.783875 58.411784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01950306-1.01947795) × R
    2.51099999999393e-05 × 6371000     		dl = 159.975809999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01950306-1.01947795) × R
    2.51099999999393e-05 × 6371000     		dr = 159.975809999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(1.01950306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.523789333172206 × 6371000     		do = 159.945374069724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(1.01947795) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.523810722906219 × 6371000     		du = 159.951905682323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01950306)-sin(1.01947795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523789333172206-0.523810722906219)×R²
    abs(-0.32784046--0.32788839)×2.13897340135549e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13897340135549e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13897340135549e-05×40589641000000     		ar = 25587.9132238301m²