Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58696 / 29401
↖ ↑ ↗
← N 69.936897°
W 18.786621°		 ← 104.76 m → N 69.936897°
W 18.783875°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 69.935954°
W 18.786621°		 ← 104.76 m →
10 979 m²		 N 69.935954°
W 18.783875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447818756103516 y=0.224315643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447818756103516 × 217)
    floor (0.447818756103516 × 131072)
    floor (58696.5)     		tx = 58696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224315643310547 × 217)
    floor (0.224315643310547 × 131072)
    floor (29401.5)     		ty = 29401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58696 / 29401 ti = "17/58696/29401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58696/29401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58696 ÷ 217
    58696 ÷ 131072     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29401 ÷ 217
    29401 ÷ 131072     		y = 0.224311828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224311828613281 × 2 - 1) × π
    0.551376342773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.73219986777073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73219986777073))-π/2
    2×atan(5.65307625992291)-π/2
    2×1.39571272240652-π/2
    2.79142544481303-1.57079632675     		φ = 1.22062912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22062912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.936897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58696 KachelY 29401 -0.32788839 1.22062912 -18.786621 69.936897
    Oben rechts KachelX + 1 58697 KachelY 29401 -0.32784046 1.22062912 -18.783875 69.936897
    Unten links KachelX 58696 KachelY + 1 29402 -0.32788839 1.22061267 -18.786621 69.935954
    Unten rechts KachelX + 1 58697 KachelY + 1 29402 -0.32784046 1.22061267 -18.783875 69.935954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22062912-1.22061267) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22062912-1.22061267) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(1.22062912) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.34305487216186 × 6371000     		do = 104.755932164679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32784046) × cos(1.22061267) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.343070323853196 × 6371000     		du = 104.760650524512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22062912)-sin(1.22061267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34305487216186-0.343070323853196)×R²
    abs(-0.32784046--0.32788839)×1.5451691335655e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.5451691335655e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.5451691335655e-05×40589641000000     		ar = 10978.977970015m²