Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58695 / 30023
↖ ↑ ↗
← N 69.342557°
W 18.789368°		 ← 107.75 m → N 69.342557°
W 18.786621°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
N 69.341588°
W 18.789368°		 ← 107.75 m →
11 608 m²		 N 69.341588°
W 18.786621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447811126708984 y=0.229061126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447811126708984 × 217)
    floor (0.447811126708984 × 131072)
    floor (58695.5)     		tx = 58695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229061126708984 × 217)
    floor (0.229061126708984 × 131072)
    floor (30023.5)     		ty = 30023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58695 / 30023 ti = "17/58695/30023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58695/30023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58695 ÷ 217
    58695 ÷ 131072     		x = 0.447807312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30023 ÷ 217
    30023 ÷ 131072     		y = 0.229057312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447807312011719 × 2 - 1) × π
    -0.104385375976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32793633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229057312011719 × 2 - 1) × π
    0.541885375976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.70238311620705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32793633} λ = -0.32793633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70238311620705))-π/2
    2×atan(5.48700800076633)-π/2
    2×1.39052613023557-π/2
    2.78105226047113-1.57079632675     		φ = 1.21025593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32793633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.789368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21025593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.342557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58695 KachelY 30023 -0.32793633 1.21025593 -18.789368 69.342557
    Oben rechts KachelX + 1 58696 KachelY 30023 -0.32788839 1.21025593 -18.786621 69.342557
    Unten links KachelX 58695 KachelY + 1 30024 -0.32793633 1.21023902 -18.789368 69.341588
    Unten rechts KachelX + 1 58696 KachelY + 1 30024 -0.32788839 1.21023902 -18.786621 69.341588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21025593-1.21023902) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21025593-1.21023902) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32793633--0.32788839) × cos(1.21025593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352779937457252 × 6371000     		do = 107.748073455089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32793633--0.32788839) × cos(1.21023902) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35279576020067 × 6371000     		du = 107.752906128206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21025593)-sin(1.21023902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352779937457252-0.35279576020067)×R²
    abs(-0.32788839--0.32793633)×1.58227434179925e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58227434179925e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58227434179925e-05×40589641000000     		ar = 11608.3492448461m²