Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58695 / 29397
↖ ↑ ↗
← N 69.940665°
W 18.789368°		 ← 104.76 m → N 69.940665°
W 18.786621°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.939723°
W 18.789368°		 ← 104.76 m →
10 973 m²		 N 69.939723°
W 18.786621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447811126708984 y=0.224285125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447811126708984 × 217)
    floor (0.447811126708984 × 131072)
    floor (58695.5)     		tx = 58695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224285125732422 × 217)
    floor (0.224285125732422 × 131072)
    floor (29397.5)     		ty = 29397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58695 / 29397 ti = "17/58695/29397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58695/29397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58695 ÷ 217
    58695 ÷ 131072     		x = 0.447807312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29397 ÷ 217
    29397 ÷ 131072     		y = 0.224281311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447807312011719 × 2 - 1) × π
    -0.104385375976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32793633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224281311035156 × 2 - 1) × π
    0.551437377929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.73239161536921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32793633} λ = -0.32793633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73239161536921))-π/2
    2×atan(5.65416032765014)-π/2
    2×1.39574560941886-π/2
    2.79149121883772-1.57079632675     		φ = 1.22069489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32793633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.789368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22069489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.940665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58695 KachelY 29397 -0.32793633 1.22069489 -18.789368 69.940665
    Oben rechts KachelX + 1 58696 KachelY 29397 -0.32788839 1.22069489 -18.786621 69.940665
    Unten links KachelX 58695 KachelY + 1 29398 -0.32793633 1.22067845 -18.789368 69.939723
    Unten rechts KachelX + 1 58696 KachelY + 1 29398 -0.32788839 1.22067845 -18.786621 69.939723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22069489-1.22067845) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22069489-1.22067845) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32793633--0.32788839) × cos(1.22069489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342993092648382 × 6371000     		do = 104.758919137073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32793633--0.32788839) × cos(1.22067845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343008535317527 × 6371000     		du = 104.763635725724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22069489)-sin(1.22067845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342993092648382-0.343008535317527)×R²
    abs(-0.32788839--0.32793633)×1.54426691445497e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54426691445497e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54426691445497e-05×40589641000000     		ar = 10972.6165798528m²