Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58694 / 85803
↖ ↑ ↗
← S 48.536613°
W 18.792114°		 ← 202.24 m → S 48.536613°
W 18.789368°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.538432°
W 18.792114°		 ← 202.23 m →
40 894 m²		 S 48.538432°
W 18.789368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447803497314453 y=0.654628753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447803497314453 × 217)
    floor (0.447803497314453 × 131072)
    floor (58694.5)     		tx = 58694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654628753662109 × 217)
    floor (0.654628753662109 × 131072)
    floor (85803.5)     		ty = 85803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58694 / 85803 ti = "17/58694/85803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58694/85803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58694 ÷ 217
    58694 ÷ 131072     		x = 0.447799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85803 ÷ 217
    85803 ÷ 131072     		y = 0.654624938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    -0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654624938964844 × 2 - 1) × π
    -0.309249877929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.971537144599678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32798427} λ = -0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971537144599678))-π/2
    2×atan(0.37850078028043)-π/2
    2×0.361836309516552-π/2
    0.723672619033103-1.57079632675     		φ = -0.84712371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84712371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.536613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58694 KachelY 85803 -0.32798427 -0.84712371 -18.792114 -48.536613
    Oben rechts KachelX + 1 58695 KachelY 85803 -0.32793633 -0.84712371 -18.789368 -48.536613
    Unten links KachelX 58694 KachelY + 1 85804 -0.32798427 -0.84715545 -18.792114 -48.538432
    Unten rechts KachelX + 1 58695 KachelY + 1 85804 -0.32793633 -0.84715545 -18.789368 -48.538432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84712371--0.84715545) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84712371--0.84715545) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(-0.84712371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662141313188973 × 6371000     		do = 202.235000565415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(-0.84715545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		du = 202.227735823941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84712371)-sin(-0.84715545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662141313188973-0.662117527566077)×R²
    abs(-0.32793633--0.32798427)×2.37856228952893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37856228952893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37856228952893e-05×40589641000000     		ar = 40894.3253279104m²