Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58694 / 30025
↖ ↑ ↗
← N 69.340619°
W 18.792114°		 ← 107.76 m → N 69.340619°
W 18.789368°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
N 69.339650°
W 18.792114°		 ← 107.76 m →
11 609 m²		 N 69.339650°
W 18.789368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447803497314453 y=0.229076385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447803497314453 × 217)
    floor (0.447803497314453 × 131072)
    floor (58694.5)     		tx = 58694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229076385498047 × 217)
    floor (0.229076385498047 × 131072)
    floor (30025.5)     		ty = 30025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58694 / 30025 ti = "17/58694/30025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58694/30025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58694 ÷ 217
    58694 ÷ 131072     		x = 0.447799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30025 ÷ 217
    30025 ÷ 131072     		y = 0.229072570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    -0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229072570800781 × 2 - 1) × π
    0.541854858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.70228724240781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32798427} λ = -0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70228724240781))-π/2
    2×atan(5.48648196567973)-π/2
    2×1.39050921830071-π/2
    2.78101843660143-1.57079632675     		φ = 1.21022211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21022211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.340619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58694 KachelY 30025 -0.32798427 1.21022211 -18.792114 69.340619
    Oben rechts KachelX + 1 58695 KachelY 30025 -0.32793633 1.21022211 -18.789368 69.340619
    Unten links KachelX 58694 KachelY + 1 30026 -0.32798427 1.21020520 -18.792114 69.339650
    Unten rechts KachelX + 1 58695 KachelY + 1 30026 -0.32793633 1.21020520 -18.789368 69.339650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21022211-1.21020520) × R
    1.69099999998146e-05 × 6371000     		dl = 107.733609998819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21022211-1.21020520) × R
    1.69099999998146e-05 × 6371000     		dr = 107.733609998819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(1.21022211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352811582843207 × 6371000     		do = 107.757738770512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(1.21020520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352827405384858 × 6371000     		du = 107.762571382004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21022211)-sin(1.21020520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352811582843207-0.352827405384858)×R²
    abs(-0.32793633--0.32798427)×1.58225416507229e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58225416507229e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58225416507229e-05×40589641000000     		ar = 11609.3905207597m²