Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58693 / 45374
↖ ↑ ↗
← N 48.345298°
W 18.794861°		 ← 202.96 m → N 48.345298°
W 18.792114°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 48.343472°
W 18.794861°		 ← 202.96 m →
41 210 m²		 N 48.343472°
W 18.792114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447795867919922 y=0.346179962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447795867919922 × 217)
    floor (0.447795867919922 × 131072)
    floor (58693.5)     		tx = 58693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346179962158203 × 217)
    floor (0.346179962158203 × 131072)
    floor (45374.5)     		ty = 45374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58693 / 45374 ti = "17/58693/45374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58693/45374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58693 ÷ 217
    58693 ÷ 131072     		x = 0.447792053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45374 ÷ 217
    45374 ÷ 131072     		y = 0.346176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447792053222656 × 2 - 1) × π
    -0.104415893554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32803220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346176147460938 × 2 - 1) × π
    0.307647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.966503770139572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32803220} λ = -0.32803220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966503770139572))-π/2
    2×atan(2.62873770301175)-π/2
    2×1.20729047107492-π/2
    2.41458094214985-1.57079632675     		φ = 0.84378462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32803220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.794861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84378462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.345298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58693 KachelY 45374 -0.32803220 0.84378462 -18.794861 48.345298
    Oben rechts KachelX + 1 58694 KachelY 45374 -0.32798427 0.84378462 -18.792114 48.345298
    Unten links KachelX 58693 KachelY + 1 45375 -0.32803220 0.84375275 -18.794861 48.343472
    Unten rechts KachelX + 1 58694 KachelY + 1 45375 -0.32798427 0.84375275 -18.792114 48.343472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84378462-0.84375275) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84378462-0.84375275) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32803220--0.32798427) × cos(0.84378462) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		do = 202.955777228309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32803220--0.32798427) × cos(0.84375275) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664663672953744 × 6371000     		du = 202.963048440301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84378462)-sin(0.84375275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664639861178613-0.664663672953744)×R²
    abs(-0.32798427--0.32803220)×2.38117751307776e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38117751307776e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38117751307776e-05×40589641000000     		ar = 41209.6443422639m²