Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58691 / 37573
↖ ↑ ↗
← N 60.666452°
W 18.800354°		 ← 149.63 m → N 60.666452°
W 18.797607°		 →
↑
149.65 m
↓
↑
149.65 m
↓
N 60.665106°
W 18.800354°		 ← 149.63 m →
22 393 m²		 N 60.665106°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447780609130859 y=0.286663055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447780609130859 × 217)
    floor (0.447780609130859 × 131072)
    floor (58691.5)     		tx = 58691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286663055419922 × 217)
    floor (0.286663055419922 × 131072)
    floor (37573.5)     		ty = 37573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58691 / 37573 ti = "17/58691/37573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58691/37573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58691 ÷ 217
    58691 ÷ 131072     		x = 0.447776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37573 ÷ 217
    37573 ÷ 131072     		y = 0.286659240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447776794433594 × 2 - 1) × π
    -0.104446411132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32812808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286659240722656 × 2 - 1) × π
    0.426681518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.34045952407563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32812808} λ = -0.32812808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34045952407563))-π/2
    2×atan(3.82079885108385)-π/2
    2×1.31481282645579-π/2
    2.62962565291157-1.57079632675     		φ = 1.05882933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32812808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.800354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05882933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.666452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58691 KachelY 37573 -0.32812808 1.05882933 -18.800354 60.666452
    Oben rechts KachelX + 1 58692 KachelY 37573 -0.32808014 1.05882933 -18.797607 60.666452
    Unten links KachelX 58691 KachelY + 1 37574 -0.32812808 1.05880584 -18.800354 60.665106
    Unten rechts KachelX + 1 58692 KachelY + 1 37574 -0.32808014 1.05880584 -18.797607 60.665106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05882933-1.05880584) × R
    2.34900000000149e-05 × 6371000     		dl = 149.654790000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05882933-1.05880584) × R
    2.34900000000149e-05 × 6371000     		dr = 149.654790000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32812808--0.32808014) × cos(1.05882933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489892987027987 × 6371000     		do = 149.625928083735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32812808--0.32808014) × cos(1.05880584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489913465065558 × 6371000     		du = 149.632182603514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05882933)-sin(1.05880584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489892987027987-0.489913465065558)×R²
    abs(-0.32808014--0.32812808)×2.04780375712144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04780375712144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04780375712144e-05×40589641000000     		ar = 22392.7048564176m²